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les suites

 
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just-a-man-but
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MessagePosté le: Mar 21 Oct - 23:14 (2008)    Sujet du message: les suites Répondre en citant

Généralités sur les suites numériques

On appelle suite numérique toute application d'une partie de N sur R.
Une suite peut donc être considérée comme une liste ordonnée de nombres réelles.
La notation habituelle est, si la suite s'appelle (U):

(Un)

qui se lit : "U indice n" ou "terme d'indice n de la suite U".

Si la suite U a pour ensemble d'indice l'ensemble des entiers naturels N, on a alors la suite:

U0 , U1 , U2 , ... , Un, ....

On fait attention que la notation (Un) correspond à l'ensemble des termes de la suite alors que la notation un correspond au terme d'indice n de la suite.

Dans la suite, toutes les suites seront indicées sur N.


SENS DE VARIATION D'UNE SUITE

(Un) étant une suite numérique, on pose les définition suivantes:

* Définition d'une suite croissante
On dit que la suite est croissante si pour tout n entier naturel, on a : Un < Un+1
On a donc, U0 < U1 < U2 < U3 ....
* Définition d'une suite décroissante
On dit que la suite est décroissante si pour tout entier naturel n, on a : Un+1 < Un
On a donc Un+1 < Un < Un-1 <.....< U2 < U1 < U0

* Définition d'une suite monotone
On dit que la suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Exemple:
La suite définie par: "Pour tout n entier naturel, Un = 2n" est croissante.
La suite définie par: "Pour tout n entier naturel, Vn = " est décroissante.
Ces deux suites sont donc monotones.

En revanche, la suite définie par: "Pour tout n entier naturel, Wn = | n - 2 |" n'est pas monotone.
Le calcul des premiers termes de cette suite donne:
w0 = | 0 - 2 | = |2| = 2
w1 = | 1 - 2 | = |1| = 1
w2 = | 2 - 2 | = |0| = 0
w3 = | 3 - 2 | = |1| = 1
Elle n'est ni croissante, ni décroissante.

* Définition d'une suite majorée
On dit que la suite est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n entier naturel, on a:
Un < M
On dit que M est un majorant de la suite.

* Définition d'une suite minorée
On dit que la suite est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout n entier naturel, on a :
m < Un
On dit que m est un minorant de la suite.

* Définition d'une suite bornée
Si la suite admet un majorant et un minorant, on dit qu'elle est bornée.
Il existe donc M et m tel que pour tout n entier naturel, on a:
m < Un < M
On remarque que la suite est bornée si et seulement si il existe un réel A tel que pour tout n entier naturel, on a:
|Un| < A
car |Un| < A ==> -A <Un<+A


Exemple:
La suite définie par : "Pour tout n entier naturel, Un = -2n + 3" est majorée par 3 car:
" pour tout n entier naturel, Un< 3 ==> Un-3<0 "

La suite définie par : "Pour tout n entier naturel, Vn = n2 " est minorée par 0 car:
" pour tout n entier naturel, 0 < Vn"

La suite définie par "Pour tout n entier naturel, Wn = est bornée car:
" pour tout entier naturel, 0 < Wn < 1 "

# Propriété 1
Une suite croissante est minorée.(Car pour tout n , on a: U0 < Un).
# Propriété 2
Une suite décroissante est majorée.(Car pour tout n , on a: U0 > Un)

On fait attention qu'une suite n'est pas nécessairement bornée ou majorée ou minorée.
Par exemple, la suite définie sur IN par: " Un = (-1)n.n " n'est ni bornée, ni majorée, ni minorée.

[/color]
EXEMPLES D'ÉTUDES DE SUITES




* Exemple 1
On définit la suite (U) sur N par : Un = n 2 - 5n.
o Est-ce une suite arithmétique? géométrique?
Si on calcule les premiers termes de cette suite, on obtient:
U0 = 0 , U1 = -4 , U2 = -6
On constate alors que U1 - U0 n'est pas égal à U2 - U1.
Cette suite n'est pas arithmétique!

Comme U0 = 0 et U1 = -4 , cette suite n'est pas géométrique car il n'existe pas q réel tel que u1 = q.u1
o Est-ce une suite monotone?
Le calcul des termes de cette suite
U0 = 0 , U1 = -4 , U2 = -6 , U3 = -6 , U4 = -4 , U5 = 0 , ....
montre que cette suite n'est ni croissante , ni décroissante
Elle n'est donc pas monotone.


o Est-ce une suite bornée?
On vérifie sans peine que pour tout n entier naturel, on a: -6 < Un
Cette suite est donc minorée et un minorant est -6.

On vérifie aussi que cette suite n'est pas majorée.
Ce n'est donc pas une suite bornée.


o Est-ce une suite convergente
On sait que la fonction (x^2 - 5x) tend vers +oo si x tend vers +oo.
Cette suite diverge donc vers +oo.


[/color][/color]
_________________
On a vu souvent Rejaillir le feu De l'ancien volcan Qu'on croyait trop vieux...


Dernière édition par just-a-man-but le Mer 10 Déc - 20:42 (2008); édité 3 fois
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MessagePosté le: Mar 21 Oct - 23:14 (2008)    Sujet du message: Publicité

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Inscrit le: 18 Nov 2008
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MessagePosté le: Mar 18 Nov - 19:05 (2008)    Sujet du message: les suites Répondre en citant

tks

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