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10 Exercice sur les matrices

 
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deldas
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MessagePosté le: Lun 19 Oct - 20:34 (2009)    Sujet du message: 10 Exercice sur les matrices Répondre en citant

C'est ma premier participation dens ce forum et J'espère que vous l'aimez !!!!!
Exercice 1 :

Soit f l'application linéaire définie par :
4 -->
3
( x1 , x2 , x3 , x4 ) --> f(
) = ( x1 - x2 , x3 - x4 , 0 )

Soit B1 , B2 les bases canoniques respectives de
4 et
3
On note B3 = {
1 ,
2 ,
3 } une nouvelle base de
3 , avec :
1 = ( 1 , 1 , 0 )    
2 = ( 1 , 0 , 1 )     et
3 = ( 0 , 1 , 1 )

Question : Calculer les matrices suivantes : A1 = [f]B1,B2 et A2 = [f]B1,B3




Exercice 2 :

Soit f : P3 --> P3 définie par :
P --> f(P) = P + ( 1 - x ) P'

Soient B1 la base canonique de P3
et B2 = { P1 , P2 , P3 , P4 } une nouvelle base de P3 avec : P1 = 1 ; P2 = 1 - X ; P3 = 1 + X2 ; P4 = 1 - X4

Question : Calculer les matrices suivantes : A1 = [f]B1,B1 et A2 = [f]B2,B1





Exercice 3 :

Soit f :
3 -->
3 définie par :
( x , y , z ) --> f(
) = ( 2x - y - z , y , z )

Soient B une base canonique de
3
et B' = {
1 ,
2 ,
3 } une nouvelle base de
3 avec
1 = ( 1 , 1 , 0 ) ;
2 = ( 1 , 0 , 1 ) et
3 = ( 1 , 0 , 0 )

Question : Calculer les matrices suivantes : A1 = [f]B,B et A2 = [f]B',B'





Exercice 4 :

Calculer AB et BA si c'est possible dans les cas suivants :
1 ) A=
et B=

2 ) A=
et B=

3 ) A=
et B=

4 ) A=
et B=






Exercice 5 :

Soit A=
et B=


      1) Calculer A2
      2) Montrer que A2 = A + 2I
      3) Déterminer une matrice B tel que AB = I ( à partir de 2 )
      4) Calculer , par la méthode de Jordan A-1





Exercice 6 :

Soit P(X) = ( 1 + X + X2/2! + X3/3! ) ( 1 - X + X2/2! - X3/3! )
et A=


      1) Développer le polynôme P(X)
      2) Calculer A2 , A3 , A4 , et An pour n > 3

On pose M = I + A + (1/2!)A2 + (1/3!)A3

      3) Montrer , en utilisant P(X) , que M est inversible et calculer l'inverse M-1



Exercice 7 :

Soient P(X) = 4X2 - X3 et Q(X) = 1 + 2X + 3X2 - X3
Soit A=
et B=


      1) Calculer P(A) et Q(B)
      2) A est-elle inversible ? B est-elle inversible ? Si oui calculer A-1 , B-1









Exercice 8 :

Soit f :
3 --------->
3
( x , y , z ) ------> ( 2x + y + z, x + 2y + z , x + y + 2z )

1) Montrer que f est une application linéaire

2) Ecrire la matrice A = [f]B dans la base canonique B de
3 : ( B = { e1 , e2 , e3 } )

3) On considère une nouvelle base B' de
3 :
B' = { u1 , u2 , u3 } avec
u1 = ( 1 , -1 , 0 ) ; u2 = ( 1 , 0 , -1 ) ; u3 = ( 1 , 1 , 1 )
Ecrire la Matrice A' = [f]B' dans la base B'

4) Determiner la matrice de passage de P de B à B' et calculer P-1 ( l'inverse de P )

5) Utiliser la relation A = P A' P-1 pour calculer An , pour n
0 et A-1.







Problème 9 :



Soit E =
3 muni de la base canonique B = { e1 , e2 , e3 }
Soit A la matrice de f dans la base B :
A =

    1) Déterminer le noyau et l'image de f ( c'est a dire de A )
    ( on déterminera une base du noyau et une base de l'image )

    2) f est-elle injective , surjective , bijective ?

    3) On considère une nouvelle famille B' = { u1 , u2 , u3 }
      avec u1 = ( -1 , 0 , 1 ) , u2 = ( -1 , 1 , 0 ) et u3 = ( 1 , 1 , 1 )

         a) Montrer que B' est une base de
3
         b) Donner la matrice A' de f dans B'

    4) Ecrire la matrice de passage P et calculer son inverse P-1

    5) Calculer, en utilisant la formule du changement de base, et la puissance An pour n
1

    6) On considere le système recurrent suivant :



       
et on note Xn =
et X0 =
        a) Trouver un lien matriciel entre Xn et Xn+1

        b) Calculer les valeurs de xn, yn, zn en fonction de n et de x0, y0, z0.
            En deduire xn, yn, zn pour x0 = 1, y0 = 0 et z0 = 1





Problème 10 :

On considère l'application linéaire g : P3 -------------> P3
P = ax3 + bx² + cx + d ------> Q = dx3 + bx² + cx + a

1) Determiner le Noyau de G et montrer que G est bijective.

2) Soit B = { 1 , x , x² , x3 } la base canonique de P3
Calculer la matrice A de g par rapport à la base B

3) Calculer A²

4) En déduire A-1 et An , n
1

5) Soit la matrice C = A - I
a) Calculer C²
b) En deduire Cn pour n
1

_________________
Souffrir pour comprendre ^^


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MessagePosté le: Lun 19 Oct - 20:34 (2009)    Sujet du message: Publicité

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just-a-man-but
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Inscrit le: 17 Oct 2008
Messages: 329

MessagePosté le: Lun 19 Oct - 22:54 (2009)    Sujet du message: 10 Exercice sur les matrices Répondre en citant

bien sur cousin Okay
_________________
On a vu souvent Rejaillir le feu De l'ancien volcan Qu'on croyait trop vieux...


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habibi91


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Inscrit le: 15 Oct 2009
Messages: 4
Localisation: oujda

MessagePosté le: Sam 31 Oct - 14:10 (2009)    Sujet du message: 10 Exercice sur les matrices Répondre en citant

[/b]merci akhi pour les éxercices ou rak 3ajabni men rak tashar layali bach tnal lma3ali merci encore ou matahramnach men ljadid nta3k
_________________
salam alikom tout le monde


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deldas
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Inscrit le: 01 Oct 2009
Messages: 18
Localisation: oujda

MessagePosté le: Dim 1 Nov - 18:16 (2009)    Sujet du message: 10 Exercice sur les matrices Répondre en citant

l3afaw ya akhi mansakch  matkhafch matansanach ghi nta  ...  w d3i m3ana  Very Happy
_________________
Souffrir pour comprendre ^^


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MessagePosté le: Aujourd’hui à 02:02 (2016)    Sujet du message: 10 Exercice sur les matrices

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